Квадратные уравнения.pdf
436.3 KB
Основной курс (A8К)
Урок 1.4: Квадратные уравнения
В этом уроки вы познакомитесь с понятием квадратного уравнения. Узнаете когда оно имеет корни, их нет или их количество равно одному. Далее познакомитесь с уравнениями, которые сводятся к квадратными, со свойствами корней квадратного уравнений (Теорема Виета) и т. д....
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Урок 1.4: Квадратные уравнения
В этом уроки вы познакомитесь с понятием квадратного уравнения. Узнаете когда оно имеет корни, их нет или их количество равно одному. Далее познакомитесь с уравнениями, которые сводятся к квадратными, со свойствами корней квадратного уравнений (Теорема Виета) и т. д....
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Интересный факт
По распространённому мнению, в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются.
На самом деле, они не могут пересекаться ни в какой геометрии в силу самого определения параллельности.
Главным же отличием геометрии Лобачевского от евклидовой является то, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две не пересекающих её прямых, находящихся в той же плоскости.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
По распространённому мнению, в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются.
На самом деле, они не могут пересекаться ни в какой геометрии в силу самого определения параллельности.
Главным же отличием геометрии Лобачевского от евклидовой является то, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две не пересекающих её прямых, находящихся в той же плоскости.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Интересный факт
Леонид Канторович, единственный отечественный обладатель Нобелевской премии по экономике, в конце 1940-х годов предложил Ленинградскому вагоностроительному заводу с помощью математических методов оптимизировать раскрой стальных листов.
После их внедрения производство продукции значительно увеличилось, однако вскоре руководство завода получило партийный выговор и прекратило сотрудничество с математиками.
Оказалось, что, во-первых, из-за резкого уменьшения стальных отходов завод не выполнил план по сдаче металлолома. Во-вторых, план по выпуску на следующий год вышестоящие инстанции ещё увеличили, но завод не смог обеспечить этот прирост вследствие уже состоявшейся полной оптимизации процесса.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Леонид Канторович, единственный отечественный обладатель Нобелевской премии по экономике, в конце 1940-х годов предложил Ленинградскому вагоностроительному заводу с помощью математических методов оптимизировать раскрой стальных листов.
После их внедрения производство продукции значительно увеличилось, однако вскоре руководство завода получило партийный выговор и прекратило сотрудничество с математиками.
Оказалось, что, во-первых, из-за резкого уменьшения стальных отходов завод не выполнил план по сдаче металлолома. Во-вторых, план по выпуску на следующий год вышестоящие инстанции ещё увеличили, но завод не смог обеспечить этот прирост вследствие уже состоявшейся полной оптимизации процесса.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Интересный факт
Числа-палиндромы — числа, которые в определённой позиционной системе исчисления (как правило — в десятичной) читаются одинаково как справа налево, так и слева направо.
Очевидно, что числа-палиндромы с их увеличением становятся всё более и более редкими в последовательности натуральных чисел. Если каждое однозначное число по определению является палиндромом, то в диапазоне от 10 до 1000 их не более 10 %, а в диапазоне от 1 000 до 100 000 их уже около 1 %.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Числа-палиндромы — числа, которые в определённой позиционной системе исчисления (как правило — в десятичной) читаются одинаково как справа налево, так и слева направо.
Очевидно, что числа-палиндромы с их увеличением становятся всё более и более редкими в последовательности натуральных чисел. Если каждое однозначное число по определению является палиндромом, то в диапазоне от 10 до 1000 их не более 10 %, а в диапазоне от 1 000 до 100 000 их уже около 1 %.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Интересный факт
Во многих источниках, зачастую с целью ободрения плохо успевающих учеников, встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы. Позднее Эйнштейн не смог поступить в Швейцарскую высшую политехническую школу Цюриха, показав высшие результаты по физике и математике, но не добрав нужное количество баллов в других дисциплинах. Подтянув эти предметы, он через год в возрасте 17 лет стал студентом данного заведения.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Во многих источниках, зачастую с целью ободрения плохо успевающих учеников, встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы. Позднее Эйнштейн не смог поступить в Швейцарскую высшую политехническую школу Цюриха, показав высшие результаты по физике и математике, но не добрав нужное количество баллов в других дисциплинах. Подтянув эти предметы, он через год в возрасте 17 лет стал студентом данного заведения.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Интересный факт
Каждый раз, когда вы перемешиваете колоду, вы создаёте последовательность карт, которая с очень высокой степенью вероятности никогда не существовала во Вселенной. Количество комбинаций в стандартной игральной колоде равно 52!, или 8×10^(67). Чтобы достичь хотя бы 50% вероятности получить комбинацию второй раз, нужно сделать 9×10^(33) перемешиваний. А если гипотетически заставить всё население планеты за последние 500 лет непрерывно мешать карты и каждую секунду получать новую колоду, в итоге получится не более 10^(20) разных последовательностей.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Каждый раз, когда вы перемешиваете колоду, вы создаёте последовательность карт, которая с очень высокой степенью вероятности никогда не существовала во Вселенной. Количество комбинаций в стандартной игральной колоде равно 52!, или 8×10^(67). Чтобы достичь хотя бы 50% вероятности получить комбинацию второй раз, нужно сделать 9×10^(33) перемешиваний. А если гипотетически заставить всё население планеты за последние 500 лет непрерывно мешать карты и каждую секунду получать новую колоду, в итоге получится не более 10^(20) разных последовательностей.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Интересный факт
Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте.
Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием — степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3.
Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте.
Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием — степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3.
Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Задача дня
Сложность — ⭐️
В доску вбито 20 гвоздиков (см. рисунок). Расстояние между любыми соседними равно 1 дюйму. Натяните нитку длиной 19 дюймов от первого гвоздика до второго так, чтобы она прошла через все гвоздики.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: кружок ВМШ 57 школы
Сложность — ⭐️
В доску вбито 20 гвоздиков (см. рисунок). Расстояние между любыми соседними равно 1 дюйму. Натяните нитку длиной 19 дюймов от первого гвоздика до второго так, чтобы она прошла через все гвоздики.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: кружок ВМШ 57 школы
Задача дня
Сложность — ⭐️
Можно ли в прямоугольник 5×6 поместить прямоугольник 3×8?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: кружок МЦНМО 7 класс.
Сложность — ⭐️
Можно ли в прямоугольник 5×6 поместить прямоугольник 3×8?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: кружок МЦНМО 7 класс.
Задача дня
Сложность — ⭐️
На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху изображен на левом рисунке.
После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рисунке справа.
Могло ли колес быть: а) три; б) два?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источиник: Олимпиада "Математический праздник".
Сложность — ⭐️
На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху изображен на левом рисунке.
После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рисунке справа.
Могло ли колес быть: а) три; б) два?
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источиник: Олимпиада "Математический праздник".
Дробно-рациональные уравнения.pdf
135 KB
Основной курс (A8К)
Урок 1.5: Дробно-рациональные уравнения
В этом уроке вы познакомитесь с понятием дробно-рациональное уравнение, научитесь их решать.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Урок 1.5: Дробно-рациональные уравнения
В этом уроке вы познакомитесь с понятием дробно-рациональное уравнение, научитесь их решать.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Задача дня
Сложность — ⭐️
Нарисуйте на плоскости четыре точки так, чтобы каждые три из них было вершинами тупоугольного треугольника. Добавьте к ним ещё одну точку с тем же свойством. Обобщите задачу.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Сложность — ⭐️
Нарисуйте на плоскости четыре точки так, чтобы каждые три из них было вершинами тупоугольного треугольника. Добавьте к ним ещё одну точку с тем же свойством. Обобщите задачу.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Задача дня
Сложность — ⭐️
Как вычислить ширину полосы, если известны расстояния от некоторой точки до ее краев?
(Полоса — это часть плоскости между двумя параллельными прямыми, включая эти прямые)
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Сложность — ⭐️
Как вычислить ширину полосы, если известны расстояния от некоторой точки до ее краев?
(Полоса — это часть плоскости между двумя параллельными прямыми, включая эти прямые)
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Математика с нуля
Задача дня Сложность — ⭐️ Как вычислить ширину полосы, если известны расстояния от некоторой точки до ее краев? (Полоса — это часть плоскости между двумя параллельными прямыми, включая эти прямые) Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше…
Задача дня
Усложнение*
Сложность — ⭐️⭐️
Дана полоса и точка K, которая лежит на крае этой полосы. На данном крае, на расстояниях a и b от точки K (a > 0, b > 0), расположены две другие точки L и M.
Найдите ширину данной полосы.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Усложнение*
Сложность — ⭐️⭐️
Дана полоса и точка K, которая лежит на крае этой полосы. На данном крае, на расстояниях a и b от точки K (a > 0, b > 0), расположены две другие точки L и M.
Найдите ширину данной полосы.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Интересный факт
Листья на ветке растения всегда располагаются в строгом порядке, отстоя друг от друга на определённый угол по или против часовой стрелки.
Величина угла разная у различных растений, но её всегда можно описать дробью, в числителе и знаменателе которой — числа из ряда Фибоначчи. Например, у бука этот угол равен 1/3, или 120°, у дуба и абрикоса — 2/5, у груши и тополя — 3/8, у ивы и миндаля — 5/13 и т.д.
Такое расположение позволяет листьям наиболее эффективно получать влагу и солнечный свет.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Листья на ветке растения всегда располагаются в строгом порядке, отстоя друг от друга на определённый угол по или против часовой стрелки.
Величина угла разная у различных растений, но её всегда можно описать дробью, в числителе и знаменателе которой — числа из ряда Фибоначчи. Например, у бука этот угол равен 1/3, или 120°, у дуба и абрикоса — 2/5, у груши и тополя — 3/8, у ивы и миндаля — 5/13 и т.д.
Такое расположение позволяет листьям наиболее эффективно получать влагу и солнечный свет.
Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
Вычислите расстояние от каждой вершины треугольника до прямой, проходящей через противоположную этой вершине сторону, для:
а) равностороннего треугольника со стороной 1;
б) равнобедренного треугольника с боковой стороной 3 и основанием 2;
в) прямоугольного треугольника с катетами 2 и 3;
д) треугольника со сторонами 4, 5, 6.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Сложность — ⭐️⭐️
Вычислите расстояние от каждой вершины треугольника до прямой, проходящей через противоположную этой вершине сторону, для:
а) равностороннего треугольника со стороной 1;
б) равнобедренного треугольника с боковой стороной 3 и основанием 2;
в) прямоугольного треугольника с катетами 2 и 3;
д) треугольника со сторонами 4, 5, 6.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Математика с нуля
Задача дня Сложность — ⭐️⭐️ В офисе туристической фирмы работают сотрудники, каждый их которых знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек знают английский, 6 — немецкий, 7 — французский, 4 знают английский и немецкий языки, 3 — немецкий и французский…
Решение задачи
1) Человек, который знает все 3 языка, находится во множествах АФ, АН, ФН;
Тогда уникальных сотрудников во множестве А: 6 - 1(3 яз.) - 1 (АФ) - 3 (АН) = 1 — знает только английский;
В АФ уникальных 2 - 1 (3 яз.) = 1;
В АН уникальных 4 - 1 (3 яз.) = 3;
2) Уникальных во множестве Ф: 7 - 1 (3 яз.) - 1 (АФ) - 2 (ФН) = 3;
3) Уникальных во множестве Н: 6 - 1(3 яз.) - 2 (ФН) - 3 (АН) = 0;
4) Всего сотрудников: 1 (3 яз.) + 1 (А) + 3 (Ф) + 1 (АФ) + 2 (ФН) + 3 (АН) = 11.
Надеюсь, что сейчас ясно. Если что, то можете спрашивать, уточню 🤓
1) Человек, который знает все 3 языка, находится во множествах АФ, АН, ФН;
Тогда уникальных сотрудников во множестве А: 6 - 1(3 яз.) - 1 (АФ) - 3 (АН) = 1 — знает только английский;
В АФ уникальных 2 - 1 (3 яз.) = 1;
В АН уникальных 4 - 1 (3 яз.) = 3;
2) Уникальных во множестве Ф: 7 - 1 (3 яз.) - 1 (АФ) - 2 (ФН) = 3;
3) Уникальных во множестве Н: 6 - 1(3 яз.) - 2 (ФН) - 3 (АН) = 0;
4) Всего сотрудников: 1 (3 яз.) + 1 (А) + 3 (Ф) + 1 (АФ) + 2 (ФН) + 3 (АН) = 11.
Надеюсь, что сейчас ясно. Если что, то можете спрашивать, уточню 🤓
Задача дня
Сложность — ⭐️⭐️
Найдите в выпуклом четырехугольнике такую точку X, что сумма всех расстояний от нее до его вершин наименьшая.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.
Сложность — ⭐️⭐️
Найдите в выпуклом четырехугольнике такую точку X, что сумма всех расстояний от нее до его вершин наименьшая.
Удачи в решении задачи! И помните, каждое решение — ваше маленькое открытие 🎓
Источник: "Геометрия 8 класс" Александров А. Д. и др.