Математика с нуля
Задача дня Сложность – ⭐️⭐️⭐️ Натуральное число n таково, что (n + 1) | 8. Докажите, что сумма всех натуральных делителей числа n также делится на 8. Источник: Алгебра 10, Пратусевич М. Я
Решение
Заметим, что
Пусть
если
Заметим, что
n ≡ 7 (mod 8)
. Пусть d
— натуральный делитель числа n
. Пусть
n = kd
. Перебирая остатки от деления на 8
, можно убедиться, что если
d ≡ m (mod 8)
,
тоk ≡ 8 − m (mod 8)
.
Поэтому все делители числа n
разбиваются на пары, сумма чисел в каждой из которых кратна 8
.Уравнения_и_неравенства_с_одной_переменной.pdf
448.9 KB
Основной курс (А9К)
Урок 1.6: Уравнения и неравенства с одной переменной
Систематизируем знания о уравнениях и неравенствах с одной переменной. Показаны некоторые способы решения уравнений высших степеней. Рассмотрен метод введения новой переменной.
Урок 1.6: Уравнения и неравенства с одной переменной
Систематизируем знания о уравнениях и неравенствах с одной переменной. Показаны некоторые способы решения уравнений высших степеней. Рассмотрен метод введения новой переменной.
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Кванторы. Структуры теорем.pdf
485.5 KB
Основной курс (А10К)
Урок 1.3 Кванторы. Структуры теорем
В данном уроке мы познакомимся с квантором всеобщности, существования. Далее в уроке немного о структуре теорем.
Урок 1.3 Кванторы. Структуры теорем
В данном уроке мы познакомимся с квантором всеобщности, существования. Далее в уроке немного о структуре теорем.
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Метод математической индукции.pdf
498.9 KB
Основной курс (А10К)
Урок 1.4 Метод математической индукции
В данном уроке мы познакомимся с очень полезным "инструментом" — метод математической индукции. Буден введена аксиома математической индукции. Объясняется, что такое база индукции и индукционный переход.
Рассматривается теорема Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом, доказательство которого довольно трудное, попробуйте.
Урок 1.4 Метод математической индукции
В данном уроке мы познакомимся с очень полезным "инструментом" — метод математической индукции. Буден введена аксиома математической индукции. Объясняется, что такое база индукции и индукционный переход.
Рассматривается теорема Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом, доказательство которого довольно трудное, попробуйте.
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Неравенство с одной переменной.pdf
680 KB
Основной курс (А9К)
Урок 1.7: Неравенство с одной переменной
Продолжаем систематизировать знания о уравнениях и неравенствах с одной переменной.
Урок 1.7: Неравенство с одной переменной
Продолжаем систематизировать знания о уравнениях и неравенствах с одной переменной.
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Решение_дробно_рациональных_уравнений_и_неравенств.pdf
398.2 KB
Основной курс (А9К)
Урок 1.8: Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств
Продолжаем систематизировать знания о уравнениях и неравенствах с одной переменной, теперь это дробно-рациональный уравнения и неравенства. Что такое уравнение-следствие и посторонние корни?
Урок 1.8: Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств
Продолжаем систематизировать знания о уравнениях и неравенствах с одной переменной, теперь это дробно-рациональный уравнения и неравенства. Что такое уравнение-следствие и посторонние корни?
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Элементы_комбинаторики_Бином_Ньютона.pdf
491.6 KB
Основной курс (А10К)
Урок 1.5 Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
Вспоминаем правила сложения и умножения из комбинаторики, размещение и перестановку, сочетания. Самое интересное это Бином Ньютона с весьма простым доказательством (есть другие, но не такие естественные)
Урок 1.5 Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
Вспоминаем правила сложения и умножения из комбинаторики, размещение и перестановку, сочетания. Самое интересное это Бином Ньютона с весьма простым доказательством (есть другие, но не такие естественные)
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Математика с нуля
НОД(0; 0) = ?
В случае, когда оба числа равны 0, в множестве натуральных общих делителей нет наибольшего элемента, ибо оно состоит из всех натуральных чисел. В то же время есть число, которое делится на все общие делители двух нулей. Это число 0. Правда, 0 не может быть ничьим делителем, поэтому применять к нему термин «наибольший общий делитель» кажется несколько странным. Тем не менее из соображений, о которых сказано выше, в некоторых книгах по определению полагают наибольший общий делитель двух нулей равным 0.
Особенности_множеств_вещественных_чисел.pdf
527.4 KB
Основной курс (А10К)
Урок 1.6 Особенности множеств вещественных чисел
Вводятся понятия супремума и инфинума множества. Обсуждаются некоторые тонкости этих понятий.
Урок 1.6 Особенности множеств вещественных чисел
Вводятся понятия супремума и инфинума множества. Обсуждаются некоторые тонкости этих понятий.
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Уравнения_и_неравенства_с_переменной_под_знаком_модуля.pdf
432.2 KB
Основной курс (А9К)
Урок 1.9: Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля
Урок 1.9: Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Уравнения с параметрами.pdf
289.5 KB
Основной курс (А9К)
Урок 1.10: Уравнения с параметрами
Урок 1.10: Уравнения с параметрами
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Аксиома полноты.pdf
597.2 KB
Основной курс (А10К)
Урок 1.7 Аксиома полноты
Урок 1.7 Аксиома полноты
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Мощность множеств.pdf
490.2 KB
Основной курс (А10К)
Урок 1.8 Мощность множеств
Урок 1.8 Мощность множеств
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Системы_уравнений_и_системы_неравенств_с_двумя_переменными.pdf
1 MB
Основной курс (А9К)
Урок 1.11: Системы уравнений и системы неравенств с двумя переменными
Урок 1.11: Системы уравнений и системы неравенств с двумя переменными
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Уравнение_с_одной_переменной_Равносильность_и_следование.pdf
476.1 KB
Основной курс (А10К)
Урок 1.9 Уравнение с одной переменной. Равносильность и следование
Урок 1.9 Уравнение с одной переменной. Равносильность и следование
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Метод математической индукции.pdf
255.5 KB
Основной курс (А9К)
Урок 1.12: Метод математической индукции
Урок 1.12: Метод математической индукции
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓
Математика с нуля
Метод математической индукции.pdf
Последовательности.pdf
391.1 KB
Основной курс (А9К)
Урок 1.13: Последовательности
Урок 1.13: Последовательности
Помните, каждый урок основан на предыдущих, поэтому рекомендую изучать их последовательно.Пишите в комментариях свои вопросы, буду рад ответить 🤓