234. Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы у соседних прямоугольников стороны не совпадали.

#олмат
#геом
#разрезания

​​256. Докажите фокальное свойство эллипса.

#олмат
#геом

276. Докажите, что если отразить ортоцентр (точка пересечения высот в треугольнике) относительно стороны или середины стороны, то он попадет на описанную окружность треугольника.

#олмат
#геом

​​289. (Окружность девяти точек) Докажите, что середины сторон произвольного треугольника, основания высот, и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, и что центр этой окружности находится в середине отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности.

#олмат
#геом
#бессмертнаяклассика

300. Даны два отрезка с длинами a и b. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок длиной корень из ab.

#олмат
#геом

318. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников ABH, BCH и CAH равны.

#олмат
#геом

320. Найдётся ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?

#олмат
#геом
#тч

338. Возможен ли треугольник, высоты которого равны 3, 4 и 5?

#олмат
#геом

343. Вова Брагин утверждает, что любые 100 точек на плоскости можно разбить на две группы так, чтобы никакая прямая не отделяла одну группу от другой. Прав ли Вова?

#олмат
#геом
#раскраски

363. Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

#олмат
#геом
#раскраски

375. Существует ли четырехугольник, который можно одной прямой разбить на прямоугольный треугольник и прямоугольник, а другой прямой – на прямоугольный и равносторонний треугольники?

#олмат
#геом

389. Могут ли биссектрисы двух внешних углов треугольника пересекаться на его описанной окружности?

#олмат
#геом

392. Расположите на плоскости 8 точек так, чтобы на серединном перпендикуляре к любому отрезку с концами в этих точках лежали ровно две из этих точек.

#олмат
#геом
#конструктив

395. Через середину биссектрисы угла B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная ей. Может ли эта прямая пересекать отрезок AC?

#олмат
#геом

405. Внутри квадрата ABCD найдите все точки X, для которых AХ+CX = BX+DX.

#олмат
#геом

421. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

#олмат
#геом

​​436. Постройте биссектрису угла, вершина которого недоступна.

#олмат
#геом

​​464. (Лемма Архимеда) Окружность α касается окружности ω в точке А, а хорды ВС касается в точке D. Прямая AD пересекает окружность ω в точке Е. Докажите, что точка Е — середина дуги ВЕС.

#олмат
#геом

​​494. В центре круглого бассейна плавает Аня. Внезапно к бассейну подошёл учитель по французскому. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем Аня плавает. Аня бегает быстрее. Сможет ли она убежать?

#олмат
#геом

​​500. Существует ли такая отличная от круга фигура, ограниченная отрезками и дугами окружностей, что все отрезки, делящие пополам ее периметр, имеют одинаковые длины?

#олмат
#геом