495. У каждого из жителей некоего города есть три знакомых жителя, причём с одним из них он активно общается каждое утро, с другим — каждый полдень, с третьим — каждый вечер. Петя с Васей поссорились и прекратили общаться. Петя заразился вирусом. Докажите, что Вася тоже вскоре заразится.
#олмат
#графы
#олмат
#графы
496. Дана возрастающая арифметическая прогрессия из натуральных чисел. Известно, что у каждого числа ровно два различных простых делителя, причем для всех членов прогрессии эта пара одна и та же. Каково наибольшее возможное количество членов в такой прогрессии?
#олмат
#оценкаплюспример
#тч
#олмат
#оценкаплюспример
#тч
497. Ежик стоит в левой нижней клетке поля 8×8. А в какой-то другой клетке пасется Лошадка. На поле стоит туман, ничего не видно, но ежику надо найти Лошадку. Лошадка каждую минуту переходит на соседнюю по стороне клетку и громко говорит, куда она перешла (влево, вправо, вверх или вниз). Ежик тоже может сделать шаг в одну из соседних по стороне или диагонали клеток, как только услышит Лошадку. Ежик найдет Лошадку, если окажется с ней на одной клетке. Что же делать Ежику?
#олмат
#текстовыезадачи
#олмат
#текстовыезадачи
502. Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?
#олмат
#матигры
#оценкаплюспример
#олмат
#матигры
#оценкаплюспример
503. В ряд лицом в затылок стоит счетное число заключенных, на каждого надет колпак черного или белого цвета. Каждый заключенный видит колпаки всех впереди стоящих заключенных. Также каждый знает свое положение в очереди. По команде все заключенные одновременно должны назвать цвет своего колпака. Как им договориться, чтобы не угадало лишь конечное число заключенных?
#олмат #алгоритмы
#олмат #алгоритмы
506. Для двух узников подготовили испытание. Сначала первого приводят в комнату, в которой стоит шахматная доска. Охранник раскладывает 64 монеты по клеткам (какие-то орлом вверх, какие-то решкой). Далее он загадывает любую клетку. Первый узник обязан перевернуть ровно одну монету, после чего его выводят. Потом заводят второго узника и он, глядя на расположение монет, должен точно назвать загаданную охранником клетку. Как нужно договориться узникам заранее, чтобы наверняка пройти испытание?
#олмат
#узники
#олмат
#узники
507. По однополосной дороге в одну сторону едут 𝑛 машин. В какой-то момент все машины одновременно меняют скорость на случайную из равномерного распределения на отрезке [60; 120]. Если машина (или группа машин) догоняет впереди идущую машину, то она упирается в головную машину и едет с ее скоростью. Через какое-то время машины разобьются на группы. Найти матожидание их количества.
#олмат
#тервер
#олмат
#тервер
509. Из 16 монет две фальшивые, более легкие. Чашечные весы недостаточно чувствительны, поэтому если на них положить настоящую и фальшивую монеты, то они остаются в равновесии. Но две настоящие монеты перевешивают две фальшивые. Можно ли найти обе фальшивые монеты за 6 взвешиваний?
#олмат
#взвешивания
#олмат
#взвешивания
510. Дана бесконечная последовательность натуральных чисел, в которой каждое число, начиная со второго, равно количеству делителей предыдущего (включая единицу и само это число). В последовательности есть хотя бы четыре попарно различных числа, но нет двух полных квадратов подряд. Докажите, что она содержит степень четверки.
#олмат #тч
#олмат #тч
511. Мастер задумал четыре различных двузначных натуральных числа, одно из которых равно сумме трех остальных. Зная этот факт, а также три задуманных числа, ни одна из четырех Маргарит не смогла назвать недостающее число (Маргаритам сообщались разные тройки чисел). Какие числа задумал мастер?
#олмат #логика
#олмат #логика