235. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 записали по кругу в некотором порядке. Назовем записанное число хорошим, если оно равно сумме двух чисел, записанных рядом с ним. Каково наибольшее возможное количество хороших чисел среди записанных?

#олмат
#оценкаплюспример
#8класс

​​​274. В компании из n человек есть "шпион" - человек, который знает всех, но его не знает никто. Вы можете спросить любого человека из компании про любого другого человека, знает ли он его или нет, и получить честный ответ. За какое наименьшее число вопросов можно найти "шпиона" в этой компании?

#олмат
#оценкаплюспример

307. На доске выписаны цифры 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Вставим между некоторыми из них «+» так, чтобы сумма оказалась трехзначным числом. Какое наибольшее число может получиться?

#олмат
#оценкаплюспример

317. На шахматной доске стоят 10 шахматных фигур (слоны и ладьи), не бьющих друг друга. Какое наименьшее количество слонов может быть среди них?

#олмат
#оценкаплюспример
#шахматы

​341. Крош хочет порадовать Ёжика и вставить в торт к его дню рождения свечки в форме некоторого выражения, значение которого есть натуральное число меньшее 100 (возраст Ёжика). Более того, он собирается использовать одни и те же цифры каждый год. Также у Кроша есть свечка в виде знака "×". Необходимо, чтобы каждый год Крош смог составлять возраст Ёжика с помощью этих свечек. Какое наименьшее количество свечек-цифр ему для этого потребуется?

#олмат
#оценкаплюспример

352. Пусть Ezh — конечное множество различных чисел. Известно, что среди любых трех его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит Ezh. Какое наибольшее число элементов может быть в Ezh?

#олмат
#оценкаплюспример

​​365. Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причём каждый весит не больше 1 тонны. Какого наименьшего числа трёхтонок заведомо достаточно, чтобы увезти весь груз?

#олмат
#оценкаплюспример

370. Есть сетка из бикфордова шнура, образующая поле 5×5 клеток, причём каждая сторона каждой клетки горит ровно 1 минуту. В каком наименьшем количестве точек можно поджечь сетку, чтобы она сгорела за 1 минуту?

#олмат
#оценкаплюспример

374. В стране Далекой провинция называется крупной, если в ней живет более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся две провинции с меньшим населением такие, что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далекой?

#олмат
#оценкаплюспример

377. На доске выписано несколько составных двузначных чисел. Известно, что любые два числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано?

#олмат
#оценкаплюспример

394. Какое наибольшее количество диагоналей клеток шахматной доски можно провести так, чтобы никакие две из них не имели ни одной общей точки?

#олмат
#оценкаплюспример

​401. На каждой клетке таблицы 8х8 сидит по два таракана. По команде все они переползают в соседнюю по ребру клетку так, что два таракана, сидящие в одной клетке, не могут снова оказаться в одной. Какое наибольшее число клеток после этого могут быть свободными?

#олмат
#оценкаплюспример
#раскраски

​402. Есть проволока длиной 120 сантиметров. На какое наименьшее число частей нужно ее разрезать, чтобы из них можно было сложить каркас куба с ребром 10 сантиметров? (проволоку можно сгибать)

#олмат
#графы
#оценкаплюспример

​​410. В магазине есть палочки только простых длин, но зато всех: 2 см, 3 см, 5 см, 7 см и т.д. Какое наименьшее число палочек разных длин нужно купить, чтобы сложить из них контур квадрата?

#олмат
#оценкаплюспример

444. На доске записано несколько трехзначных чисел. Все они составные, однако, любые два взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

#олмат
#оценкаплюспример
#тч

​​451. Для оклейки кубика n×n×n имеется неограниченный набор полосок ширины 1, каждая из которых состоит из целого числа клеток. Какое наименьшее число полосок необходимо взять, чтобы оклеить кубик в один слой (оклеивать разрешается так, чтобы каждая клетка полоски покрывала на поверхности кубика какую-то клетку целиком)?

#олмат
#оценкаплюспример

​​470. В 8 вершинах некоторого куба записали числа 1, 2, 3, ..., 8. Потом на каждом ребре написали разность двух чисел на его концах (из большего вычитали меньшее). Какое наименьшее количество разных чисел могло оказаться на рёбрах?

#олмат
#оценкаплюспример

​​491. Вожатые заказали большую пиццу на полдник школьникам из 7Б. Они забыли сколько школьников осталось в группе (17 или 18), но хотят заранее разрезать пиццу на куски, чтобы получилось всем гарантированно раздать поровну (всю пиццу надо раздать). Каким наименьшим количеством кусков можно обойтись?

#олмат
#оценкаплюспример

​​496. Дана возрастающая арифметическая прогрессия из натуральных чисел. Известно, что у каждого числа ровно два различных простых делителя, причем для всех членов прогрессии эта пара одна и та же. Каково наибольшее возможное количество членов в такой прогрессии?

#олмат
#оценкаплюспример
#тч

​​502. Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?

#олмат
#матигры
#оценкаплюспример