8. Можно ли расставить числа 1,2,..,9 в таблицу 3х3 так, чтобы в каждой строчке и в каждом столбце произведение чисел было кратно четырем?

#олмат
#6класс

11. В волшебной стране мирно жили 10 гномов, которые носили колпаки красного и синего цвета. Однажды к ним прилетел злобный дракон. Он сказал, что на следующий день будет спрашивать у каждого гнома, какого цвета его колпак и есть каждого гнома, который ответил неправильно. В случае правильного ответа, гнома дракон отпускает на свободу. Изначально каждый гном не знает, какого цвета колпак он носит. Сообщать гному, какой колпак на нем надет запрещено. Вам нужно предложить гномам тактику, которая позволит спастись наибольшему числу.

#олмат
#6класс

14. Докажите, что для любой точки внутри правильного треугольника сумма расстояний до сторон этого треугольника постоянна.

#олмат
#6класс
#геометрия

15. Хромой король может ходить только на одну клетку вправо и вниз. Сколькими различными способами он сможет добраться до диагонали?

#олмат
#6класс

20. Докажите, что среди любых шести человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.

#олмат
#бессмертнаяклассика
#6класс

23. По кругу стоят 100 человек. Каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Могло ли случиться, что каждый из них сказал: «Среди двоих, следующих за мной по часовой стрелке, есть лжец»?

#олмат
#6класс

55. Вася спустился вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Потом он поднялся по этому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 60 ступенек. Сколько бы ступенек насчитал Вася, если бы эскалатор не двигался?

#олмат
#6класс

66. Назовём перестройкой натурального числа перестановку любых двух его соседних цифр. Найдите все 19-значные числа, которые в результате любой перестройки, кроме, быть может, одной, увеличиваются.

#олмат
#6класс
#алгебра

69. В марте 2120-го Емеля Зайцев прогуливался по шоссе Дражинского и увидел забор, на котором было написано: "для какой правильной дроби перевернутая дробь так же является правильной?". "Ерунда, такого не бывает." -- подумал Емеля. Прав ли он?

#олмат
#6класс
#9класс
#алгебра

80. Перед вами мост через глубокую и широкую реку, на мосту стоит охранник. Ему было дано указание вешать тех людей, которые говорят правду и топить тех, кто лжёт. Что нужно сказать охраннику, чтобы он пропустил вас пройти через мост?

#олмат
#6класс
#логика
#бессмертнаяклассика

89. Продолжите последовательность: 230, 345, 500, 615,... .

#олмат
#6класс
#ребусы

91. Обезьяна становится счастливой, когда съедает три разных фрукта. Какое наибольшее количество обезьян можно осчастливить, имея 20 груш, 30 бананов, 40 персиков и 50 мандаринов?

#олмат
#6класс
#оценкаплюспример

92. Тридцать девочек — 13 в красных платьях и 17 в синих — водили хоровод
вокруг новогодней ёлки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли
её соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те
и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного
цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно?

#олмат
#логика
#6класс

101. На доске написаны 10 натуральных чисел. Оказалось, что произведение любых четырёх из них кратно 30. Докажите, что хотя бы одно из написанных чисел само по себе кратно 30.

#олмат
#делимости
#6класс

169. По кругу записаны 10 десять чисел. Известно, что сумма любых трех идущих подряд чисел отрицательная. Может ли сумма всех чисел быть положительной?

#олмат
#6класс

​​170. Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности. Какова площадь поверхности невидимого бруска?

#олмат
#6класс

173. А сказал: "Я лжец или Б рыцарь". Определите кем являются А и Б.

#олмат
#логика
#6класс

201. Что больше: 2³⁰⁰ или 3²⁰⁰?

#олмат
#6класс

230. Даша Донец пошла с Эдиком в тир. Уговор был такой: Даша делает 5 выстрелов и за каждое попадание получает право еще на два выстрела. Всего Даша выстрелила 25 раз. Сколько раз она попала?

#олмат
#6класс